보간

보간은 값을 띄엄띄엄만 알고 있을 때 그 사이 지점의 값을 만들어 냅니다. 구하려는 지점이 양옆 점에서 얼마나 떨어졌는지를 보고 그 비율로 두 값을 섞습니다. 이 이름은 여러 분야가 함께 씁니다. 이 항목은 숫자 사이를 메우는 쪽을 다룹니다.

상세

보간은 값이 정해진 점 몇 개를 받아 그 사이 지점의 값 하나를 내주는 계산입니다. 넣는 것은 값을 아는 점들과 구하려는 위치입니다. 나오는 것은 그 위치의 값입니다.

한 시간 간격으로 적어 둔 기온 기록이 그런 입력입니다. 두 시와 세 시 기온만 적혀 있습니다. 두 시 반 기온이 필요하면 두 값 사이에서 값 하나를 지어내야 합니다. 그 일이 보간입니다.

값을 촘촘하게 다 갖고 있으면 보간이 필요 없습니다. 그런데 값은 대개 성깁니다. 재는 데 돈과 시간이 들거나, 다 저장하면 너무 커지거나, 아예 잴 수 없는 지점이기 때문입니다.

그래서 성긴 값만 들고 있다가 필요한 지점의 값을 그때그때 만들어 씁니다. 나온 값은 추측이지 측정이 아닙니다. 보간을 고르는 일은 「어떻게 추측할 것인가」의 규칙을 고르는 일입니다.

두 점 사이를 잇는 가장 단순한 규칙

가장 단순한 규칙은 두 점을 곧은 선으로 잇는 것입니다. 이 규칙이 선형 보간입니다.

구하려는 지점이 시작점에서 끝점 쪽으로 얼마나 왔는지를 0 과 1 사이의 수로 적습니다. 시작점이면 0, 끝점이면 1, 한가운데면 0.5 입니다. 이 수를 비율이라고 부르겠습니다.

block-beta
columns 5
  a["시작점 · 0"] b["0.25"] c["한가운데 · 0.5"] d["0.75"] e["끝점 · 1"]

비율은 값이 아니라 구간 위의 어느 지점인지를 가리킵니다. 그 지점에 값을 대면 아래처럼 됩니다. 시작값 10, 끝값 20 일 때입니다.

값 = 시작 + (끝 - 시작) × 비율

10 + (20 - 10) × 0      // 10
10 + (20 - 10) × 0.25   // 12.5
10 + (20 - 10) × 0.5    // 15
10 + (20 - 10) × 1      // 20

비율이 0.25 면 시작점에서 끝점 쪽으로 네 걸음 중 한 걸음만 간 값 12.5 가 나옵니다. 계산은 곱셈 한 번과 덧셈 한 번입니다. 값 하나를 뽑는 데 드는 일이 입력 개수와 무관하게 일정합니다.

삼각형 안쪽을 채우는 보간

화면은 작은 네모 칸이 촘촘히 깔린 격자입니다. 삼각형 하나를 그리면 그 삼각형이 덮는 칸이 수만 개가 됩니다. 그런데 색이나 좌표 같은 값은 꼭짓점 셋에만 실려 있습니다. 칸마다 값을 하나씩 만들어 주는 계산이 보간입니다.

섞는 몫은 그 칸이 세 꼭짓점에서 각각 얼마나 떨어졌는지로 정합니다. 어느 꼭짓점에 가까울수록 그 값의 몫이 커집니다. 삼각형 안에서 이 세 몫을 재는 좌표가 무게중심 좌표입니다. 세 몫을 더하면 1 이 됩니다.

flowchart TD
    A["꼭짓점 · 빨강"] --- B["꼭짓점 · 초록"]
    B --- C["꼭짓점 · 파랑"]
    C --- A
    A -. "멀다 → 몫 0.2" .- P["칸 하나"]
    B -. "조금 멀다 → 몫 0.3" .- P
    C -. "가깝다 → 몫 0.5" .- P

꼭짓점 셋을 빨강·초록·파랑으로 두면 삼각형 안쪽이 부드럽게 물드는 것이 이 때문입니다. 값은 여전히 세 곳에만 있습니다. 나머지는 칸마다 그때 만들어진 값입니다.

이 계산이 끼어드는 때는 정해져 있습니다. 꼭짓점마다 도는 정점 셰이더가 값을 내보냅니다.

래스터화가 그 삼각형을 화면의 칸으로 쪼갭니다. 쪼개는 동안 칸마다 몫을 재어 값을 섞습니다. 칸마다 도는 프래그먼트 셰이더는 이렇게 섞인 값을 받습니다.

flowchart TD
    V["정점 셰이더 · 값 셋"] --> R["래스터화 · 값 셋을 칸 수만 개로 불린다"]
    R --> F["프래그먼트 셰이더 · 칸 하나가 값 하나를 받는다"]

삼각형이 화면에 비스듬히 누워 있으면 화면 위 거리로만 섞은 값이 틀어집니다. 멀리 있는 쪽이 실제보다 넓게 늘어나 보입니다. 깊이를 함께 나눠 섞어 이 틀어짐을 바로잡는 것을 원근 보정 보간이라고 부릅니다.

잇는 규칙의 갈래

두 점을 곧은 선으로만 잇는 것은 아닙니다. 몇 개의 점을 보고 어떤 선으로 이을지에 따라 이름이 갈립니다.

표가 말하는 차이는 하나로 줄어듭니다. 보는 점이 많고 선이 매끄러울수록 값이 자연스럽지만 계산이 늘어납니다. 어느 쪽을 고를지는 매끄러움과 계산량을 견줘 정합니다.

안쪽과 바깥쪽을 가르는 선

보간은 값을 아는 점들의 안쪽에서만 씁니다. 그 범위 바깥을 짚어 값을 내는 것은 외삽이라고 따로 부릅니다.

block-beta
columns 3
  a["바깥쪽 · 외삽"] b["아는 점부터 아는 점까지 · 보간"] c["바깥쪽 · 외삽"]

안쪽은 양옆에서 값이 붙잡아 주므로 크게 빗나가기 어렵습니다. 바깥은 붙잡아 주는 값이 한쪽뿐이라 멀어질수록 빠르게 빗나갑니다. 그래서 두 이름을 가려 씁니다.

보간이 빗나가는 때

성긴 점 사이에서 값이 크게 출렁이면 보간은 그 출렁임을 못 봅니다. 두 시와 세 시만 재 둔 기온을 그려 보면 이렇습니다.

xychart-beta
    title "두 시와 세 시만 재 둔 기온"
    x-axis ["2:00", "2:10", "2:20", "2:30", "2:40", "2:50", "3:00"]
    y-axis "기온" 14 --> 26
    line [24, 22, 18, 15, 15, 17, 18]
    line [24, 23, 22, 21, 20, 19, 18]

가운데가 움푹 파인 쪽이 실제 기온이고, 곧게 내려가는 쪽이 보간이 만든 값입니다. 두 선이 벌어진 구간이 소나기가 지나간 때입니다. 한 시간마다 잰 기온으로는 그 사이에 지나간 소나기를 알 수 없습니다. 점 사이에서 값이 얼마나 튈 수 있는지를 모르면 보간 결과도 믿을 수 없습니다.

값이 숫자 모양이어도 섞으면 안 되는 것이 있습니다. 도로 번호나 상태 코드처럼 이름 대신 쓰는 숫자가 그렇습니다. 1번과 2번의 가운데인 1.5번 도로는 없습니다. 그래서 앞의 최근접 이웃 보간이 값을 섞지 않고 가장 가까운 쪽 값을 그대로 가져옵니다.

각도도 그냥 섞으면 엉뚱해집니다. 359도와 1도의 가운데를 숫자로만 계산하면 180도가 나옵니다. 두 방향 사이는 0도 쪽으로 2도 차이입니다. 회전을 섞을 때 구면 선형 보간처럼 따로 만든 방법을 쓰는 이유입니다.

보간으로 만든 값을 측정값과 같은 곳에 섞어 저장하면, 나중에 어느 것이 잰 값이고 어느 것이 지어낸 값인지 가릴 수 없게 됩니다.

같은 이름의 다른 뜻

프로그래밍에서 문자열 보간은 글자 틀 안의 빈칸에 값을 끼워 넣는 기능을 가리킵니다. 사이 값을 계산하는 것이 아니라 정해진 빈칸을 채우는 것이라 하는 일이 다릅니다. 사이를 메운다는 그림만 같습니다.

이 기능으로 SQL(Structured Query Language, 구조화 질의 언어) 질의문을 이어 붙이면 바깥에서 들어온 글자가 질의문의 일부가 되어 SQL 인젝션의 입구가 됩니다.

관련 항목

보간의 하위 종류

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삼각형 안을 채울 때 함께 쓰는 좌표와 보정

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